貨幣市場(LM)穩定條件探討

概念前言

本筆記探討貨幣市場達到均衡與穩定所需的數學條件。透過檢視貨幣需求對利率與所得的敏感度，確保當經濟體系受到利率或所得干擾時，貨幣市場能自動調整回平衡狀態，而不至於發生無限發散。

概念前言

接續 LM 曲線推導 的推導。為了讓貨幣市場是穩定的（當外力干擾讓利率 $r$ 或所得 $Y$ 偏離均衡時，市場能自動拉回平衡，而不無限發散），數學上的調整機制與斜率必須符合特定條件。

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壹、穩定條件推導 (貨幣市場均衡與斜率)

從貨幣市場均衡式 $L(Y,r)=\frac{M^s}{P}$ 出發，設定貨幣需求函數為 $L=kY-hr$（其中 $k>0$ 為所得對貨幣需求的敏感度，$h>0$ 為利率對貨幣需求的敏感度）。

為了讓貨幣市場在失衡時能透過利率調整恢復穩定，數學上必須確保利率調整機制順暢，即利率敏感度 $h$ 必須大於 0。若 $h=0$（垂直的貨幣需求），利率將失去調節貨幣供需的功能。

\begin{gather} h > 0 \\[1.5em] \textcolor{#316A9E}{ \text{利率敏感度} } > 0 \\[1.5em] \frac{k}{h} > 0 \quad (\text{LM 曲線斜率正號}) \\[1.5em] \textcolor{#d32f2f}{ \text{LM 曲線呈現正斜率} } \end{gather}

• 經濟意義：若要維持正斜率的 $LM$ 曲線（所得上升伴隨利率上升），貨幣需求的利率敏感度 $h$ 與所得敏感度 $k$ 必須同號且大於零。
• 幾何意義：$LM$ 曲線的斜率為 $\frac{k}{h}$，代表為了維持貨幣市場均衡，所得 $Y$ 每增加一單位，利率 $r$ 必須上升 $\frac{k}{h}$ 單位。

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貳、動態調整機制 (為何 LM 曲線斜率為正)

所有調整的源頭來自貨幣市場的核心供需關係：

• $r_1>r^{\ast }$ 時，貨幣供給 $M_1$ 大於貨幣需求 $M^s$ （或超額供給），促使債券價格上漲、利率下跌回均衡 $r^{\ast }$。

• $r_2<r^{\ast }$ 時，貨幣需求 $M_2$ 大於貨幣供給 $M^s$ （或超額需求），促使民眾拋售債券、利率上升回均衡 $r^{\ast }$。

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一、穩定狀態（$h>0$ 之正常狀況）

當所得 $Y$ 上升（例如 $Y_1\to Y_2$）：

• $Y_1$ 對應 $M_1^d$ ，$Y_2$ 對應 $M_2^d$ 。
• 交易與預防動機的貨幣需求增加 $\to$ 在固定的貨幣供給下，民眾為了取得現金而拋售債券 $\to$ 債券價格下跌，市場利率 $r$ 上升。
• 此動態過程使市場沿著正斜率的 $LM$ 曲線移動，順利達成新均衡。

👉 結論：只要 $h>0$ 且 $k>0$，任何外力干擾（如所得變動）都會觸發利率的自動修正，體系穩定收斂。處於下圖中藍色區域：

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二、極端狀態與不穩定風險

1. 流動性陷阱 ($h\to \infty$)：

• 當 $h$ 無限大時，$\frac{k}{h}\to 0$，導致 $LM$ 曲線變成水平線。此時利率失去彈性，貨幣市場無法透過利率調整來吸收貨幣需求的變動。
• 對應到水平的貨幣需求曲線。

2. 古典極端 ($h=0$)：

• 當 $h=0$ 時，$\frac{k}{h}$ 趨近無限大，導致 $LM$ 曲線變成垂直線。此時貨幣需求完全不受利率影響，僅由所得決定。

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參、參數變動對 LM 曲線斜率的影響

模型中的各項結構參數（$k$ 與 $h$），直接決定了 $LM$ 曲線的陡峭程度與貨幣政策的傳導效率：

• 貨幣需求的所得敏感度 ($k$) 變大：

• 使 $\frac{k}{h}$ 變大，$LM$ 曲線變得更陡峭。這代表所得微幅變動就會引起利率劇烈波動。

• 貨幣需求的利率敏感度 ($h$) 變大：

• 使 $\frac{k}{h}$ 變小，$LM$ 曲線變得更平坦。當 $h$ 變得極大時（接近流動性陷阱），$LM$ 呈現水平，貨幣政策完全失效。