IS-LM 均衡求解與政策乘數

核心破題

本筆記透過聯立商品市場與貨幣市場方程式，代數推導出 $IS-LM$ 模型的均衡國民所得 $Y^{\ast }$。藉由對 $Y^{\ast }$ 進行偏微分，可精確計算出扣除排擠效應後的財政與貨幣政策乘數，並分析結構參數如何影響政策有效性。

壹、 聯立求解均衡所得 $Y^{\ast }$

將商品市場 (IS曲線) 與貨幣市場 (LM曲線) 的方程式聯立，解出同時滿足兩大市場的均衡狀態。

一、 兩大市場方程式

1. $IS$ 曲線方程式：$Y=\frac{1}{1-c-e}(\bar{A}-br)$

   為簡化代數運算，令自發性支出乘數 $\alpha =\frac{1}{1-c-e}$，改寫為：

$Y=\alpha (\bar{A}-br)$

2. $LM$ 曲線方程式：

$r=\frac{k}{h}Y-\frac{1}{h}\frac{M^s}{P}$

二、 均衡產出公式推導

將 $LM$ 方程式的 $r$ 代入 $IS$ 方程式中，經過移項整理，可得最終均衡產出公式：

$Y^{\ast }=\frac{h\alpha }{h+kb\alpha }\bar{A}+\frac{b\alpha }{h+kb\alpha }\frac{M^s}{P}$

此時均衡所得為 $Y^{\ast }$，均衡利率為 $r^{\ast }$。

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貳、 曲線平移對均衡的影響 (政策乘數)

透過對上述的 $Y^{\ast }$ 公式進行偏微分（探討單一變數的增量變動），即可得到兩大核心政策乘數。此乘數與簡單凱因斯模型最大的差異在於：已自動扣除利率上升所導致的排擠效應。

一、 財政政策乘數 ($IS$ 平移)

當政府自發性支出增加 $\Delta \bar{A}$ 時，對最終產出的變動量：

$\frac{\Delta Y}{\Delta \bar{A}}=\frac{h\alpha }{h+kb\alpha }>0$

• 直覺解析：由於分母多出了 $kb\alpha$ 這個正數項，導致此乘數必定小於簡單凱因斯模型的原乘數 $\alpha$。在數學上完美證明了排擠效應會削弱財政政策的威力。

二、 貨幣政策乘數 ($LM$ 平移)

當央行實質貨幣供給增加 $\Delta (\frac{M^s}{P})$ 時，對最終產出的變動量：

$\frac{\Delta Y}{\Delta (\frac{M^s}{P})}=\frac{b\alpha }{h+kb\alpha }>0$

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參、 參數變動對政策有效性的影響 (結構改變)

模型中的各項結構參數，決定了曲線的斜率（陡峭或平坦），也直接決定了乘數的大小與政策的有效性。

參數變動	影響曲線	曲線幾何變化	財政乘數變化	貨幣乘數變化	經濟意涵與極端特例
投資的利率敏感度 ($b$) 變小	IS曲線	變陡峭	變大	變小	排擠效應減弱，財政政策越有效。
貨幣需求的利率敏感度 ($h$) 變大	LM曲線	變平坦	趨近最大值 ($\alpha$)	趨近於 $0$	資金極度寬裕，無排擠效應。極端狀況為流動性陷阱。
邊際消費傾向 ($c$) 變大	IS曲線	變平坦	變大	變大	自發性支出乘數 $\alpha$ 變大，整體放大初始政策衝擊的擴張效果。