LM 曲線推導

概念前言

💡 推導的數學底層邏輯： 所有的圖形變動，皆建立在讓貨幣市場隨時維持均衡的前提之上。

$\frac{M^s}{P}=L(Y,r)$

（實質貨幣供給 = 實質貨幣需求）

💡 利率上升時，

1. 貨幣需求量(流動性偏好) 下降。
2. 貨幣供給量 ($M^s$) 不變（是中央銀行完全控制的外生變數，不會隨著利率上升而自動增加）。

要完整在圖形上表達這個機制，我們必須透過「兩張圖的連動」來拆解：一張是背後的【貨幣市場圖】，另一張是推導出來的最終結果【LM 曲線圖】。

第一張圖：貨幣需求曲線（🗂️ 貨幣市場)

這張圖用來解釋利率 ($r$) 與貨幣數量 ($M$) 的供需關係。

• X 軸：貨幣數量 ($M$)

• Y 軸：利率 ($r$)

• 貨幣供給曲線 ($M^s$)：這是一條垂直於 X 軸的直線。因為不管利率多高，市場上的鈔票總量就是央行發行的那麼多。

• 貨幣需求曲線 ($M^{d}orL$)：這是一條向右下方傾斜的負斜率曲線。所得 ($Y$) 越高，因為交易動機、預防動機，貨幣需求量 越高(座標軸沒有Y，所以是線的平移)。

橫軸

座標軸決定了是「供給增加」還是「需求減少」，在分析 IS-LM 模型中的貨幣市場均衡時，必須極度小心橫軸的定義。同一個「物價下跌」的經濟現象，在不同的座標軸下會有完全不同的幾何展現：
 

觀察視角	橫軸定義	衝擊分析 (當 P 下降時)	圖形變化 (貨幣市場)	結果 (利率 r)
實質面	實質貨幣餘額 ($M/P$)	購買力放大：分母 P 變小，導致整體實質貨幣餘額增加。	垂直的實質貨幣供給線 (MS/P) 向右平移	r 下降
名目面	名目貨幣餘額 ($M$)	交易需求縮水：東西變便宜，民眾日常交易所需的現鈔金額減少，即 MD=P×L(Y,r) 下降。	負斜率的名目貨幣需求線 (MD) 向左下方平移	r 下降

---

第二張圖：LM 曲線 (LM Curve)

這張圖是把上述貨幣市場的邏輯，轉換到總體經濟的座標系中。

• X 軸：國民所得 ($Y$)

• Y 軸：利率 ($r$)

• LM 曲線：這是一條向右上方傾斜的正斜率曲線。

💡 貨幣市場動態與 LM 曲線推導總結

當國民所得 $Y$ 增加時，交易性、預防性貨幣需求上升，導致貨幣需求曲線 ($M^d$) 整條向右平移。在貨幣供給 ($M^s$) 固定的前提下，市場產生超額貨幣需求，大眾拋售債券迫使債券價格下跌，最終交會出更高的均衡利率 (r)。

1. 起因與衝擊 (橫軸變動 → 交易動機增加)

假設國家景氣大好，國民所得 (Y) 增加。為了應付更多的進貨成本與日常開銷，企業與民眾需要更多的現金，導致交易性貨幣需求大增。

2. 僵局 (供給固定 → 拋售債券)

在央行未採取寬鬆政策的情況下，市場上的貨幣總供給 ($M^s$ 垂直線) 是固定的。面對現金短缺的超額貨幣需求，大眾只能選擇大量拋售手邊的債券來變現。

3. 解法 (債券價格跌 → 推升利率 r)

債券市場出現拋售潮，導致債券價格大跌；而在經濟學中，債券價格與利率呈嚴格反向關係，因此市場利率 (r) 被迫大幅推升。

4. 結果 (Y 軸變動 → 總體均衡重建)

不斷攀升的高利率，大幅增加了持有現金的「機會成本」。那些原本想把錢握在手裡投機的人，會受不了高利息的誘惑，決定將現金轉為孳息資產（投機性貨幣需求量下降）。直到這部分被「擠出來」的現金，剛好填補了景氣過熱所需要的交易現金，市場重新達到平衡。

👉 結論：所得 $Y$ 增加 → 利率 $r$ 上升。兩者呈正向關係，推導出正斜率的 LM 曲線。

---

三、補充：如果貨幣供給「真的」會隨利率上升呢？

如果你探討的是更進階的「貨幣供給內生性 (Endogenous Money Supply)」模型（假設利率高時，商業銀行會更努力放貸創造貨幣）：

1. 在【貨幣市場圖】中：貨幣供給 ($M^s$) 將不再是垂直線，而會變成一條正斜率（向右上方傾斜）的線。

2. 在【LM 曲線圖】中：因為銀行會幫忙創造貨幣，利率就不需要上升得那麼辛苦。這會導致推導出來的 LM 曲線變得比較平坦（斜率變小）。

👉 結論：利率變化，且出現不同的貨幣均衡量$M_1$ 、 $M_2$