這正是總體經濟學最精彩的時刻！你現在問的問題，就是要把「簡單凱因斯模型（45度線）」升級成「IS 曲線」的關鍵橋樑。
我們要把前面提到的「借錢成本（利率 r 會影響投資 I）」這個觀念，像套件一樣安裝到我們熟悉的 45 度線圖形裡。
一、數學推導
原本的簡單凱因斯模型中，總支出 AE=C+I+G的投資 I 是一個固定的數。
現在我們進行升級：
- 把投資換成方程式： 我們把 I 替換成 I=I0−br+eY。
- 新的總支出方程式：
AE = \textcolor{#437C51}{ C } +\textcolor{#316A9E}{ I }+ G \\[1.5em]
AE=\textcolor{#437C51}{ [C_{0}+c(Y-T)] }+ \textcolor{#316A9E}{ (I_0 - br+eY) } + G] \\[1.5em]
AE=C_{0}+cY+I_{0}-br+eY+G-cT \\[1.5em]
AE=(c+e)Y+C_{0}+I_{0}-br+G-cT
\end{gather}$$
## 2. 解Y=AE
> [!example|calculator]+ 舉例計算
>
>
>$$\begin{gather}
>Y=AE \\[1.5em]
>Y=(c+e)Y+C_{0}-cT+I_{0}-br+G\\[1.5em]
>Y=cY+eY+C_{0}+I_{0}-br-cT+G\\[1.5em]
> (1-c-e)Y=C_{0}+I_{0}-br+G-cT\\[1.5em]
>\textcolor{#d32f2f}{ Y^*=\frac{1}{1-c-e}\times(C_{0}+I_{0}-br+G-cT) }
>\end{gather}$$
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# 二、動態模型
## 1. 從45度線模型推導IS 曲線
### (1) 模型
<iframe src="https://obsidian-economics.pages.dev/02_Macroeconomics_總體經濟學/04_修正凱因斯模型_IS-LM/is_curve_ Derivation.html" style="width:100%; height:800px; border:none;"></iframe>
- **上面的圖（商品市場）：** 就是你熟悉的 45 度線交叉圖（縱軸 $AE$，橫軸 $Y$）。
- **下面的圖（IS 曲線）：** 縱軸換成了利率 $r$，橫軸一樣是產出 $Y$。
#### 🌟 避坑指南：IS 曲線的推導盲點與座標軸轉換
推導 $IS$ 曲線時，常會陷入「$AE$ 與 $45^\circ$ 線交點都在同一條線上，為何推導出來是負斜率曲線」的視覺盲點。破解的關鍵在於 **「縱軸定義的切換」**！
##### 1. 上圖（凱因斯交叉圖）
縱軸為**總支出 $AE$**，橫軸為產出 $Y$。當利率 $r$ 變動時（例如 $r_1 下降至 r_{2}$），根據 $I=I_0+eY-br$，$r$ 下降會使投資增加，讓整條 $AE$ 曲線平行上移，與 $45^\circ$ 線產生新的均衡交點（滿足 $Y=AE$）。
![[AE推IS上-20260911.png|396]]
##### 2. 下圖（$IS$ 曲線）
縱軸切換為**利率 $r$**，橫軸維持 $Y$。將上方圖的均衡結果直接對應下來——「較低的 $r$ 對應較高的均衡 $Y$」——把 $(Y_{1}, r_{1})$ 、 $(Y_{2}, r_{2})$ 連起來，就形成了一條向右下傾斜的 $IS$ 曲線。
![[AE推IS下-20260911.png|377]]
**💡 核心結論**：$IS$ 曲線上的「每一點」，背後都濃縮了上方圖中「某一條特定 $AE$ 曲線與 $45^\circ$ 線達成均衡的交點」。
### (2) 推導說明
1. **初始狀態：** 假設現在利率很高（$r_1$）。因為借錢很貴，企業投資很少，所以 $AE$ 線的位置比較低。它跟 45 度線交會產生了一個比較小的國民所得（$Y_1$）。我們在下面的圖標出第一個點 **$(Y_1, r_1)$**。
2. **央行降息：** 利率突然下降了（變成 $r_2$）。
3. **投資爆發：** 老闆們發現借錢變便宜了，開始大舉蓋廠房。投資 $I$ 增加！
4. **AE 線上移：** 因為大家猛花錢，$AE$ 曲線整條往**上**平移。
5. **產生新均衡：** 新的 $AE$ 曲線跟 45 度線交會在一個更高的位置，創造了更大的國民所得（$Y_2$）。我們在下面的圖標出第二個點 **$(Y_2, r_2)$**。
6. **畫線：** 把下面圖的這兩個點連起來，你會得到一條向右下方傾斜的線，**這就是大名鼎鼎的 IS 曲線！**