IS曲線推導（漏出注入法）

概念前言

如果在 S=I 的模型中加入「誘發性投資」，投資 ($I$) 將不再是一條水平線，而是變成一條「正斜率」曲線。

一、數學推導：加入誘發性投資

• 假設投資 ($I$) 不僅受利率 ($r$) 影響，還會隨國民所得 ($Y$) 的增加而增加。

1. 定義方程式

• 儲蓄函數：$S=-C_0+(1-c)Y$ （其中 $1-c$ 為邊際儲蓄傾向 MPS）

• 投資函數：$I=I_0-br+eY$ （其中 $e$ 為邊際投資傾向，代表每增加 1 單位所得，會誘發多少投資）

2. 設定均衡條件($S=I$)並推導 IS 方程式

市場達到均衡的條件(漏出=注入)：

$$\begin{array}{c}S=I\\ -C_0+(1-c)Y=I_0-br+eY\\ (1-c-e)Y=C_0+I_0-br\end{array}$$

得出均衡所得 (IS 曲線方程式)：
$Y=\frac{1}{1-c-e}\times (C_0+I_0-br)$

二、完整的漏出—注入模型 (四部門) 擴充

1. 漏出 (Leakages, W) = 民間儲蓄 ($S$) + 稅收 ($T$) +進口 ($M$)
2. 注入 (Injections, J) = 企業投資 ($I$) + 政府支出 ($G$) + 淨出口 ($NX$)

​
市場達到均衡時 (假設封閉經濟 $S+T=I+G$)：

$S+T=I+G$
又

S=\textcolor{#316A9E}{ Y_{d} }-C \\[1.5em] S=\textcolor{#316A9E}{ (Y-T) }-[C_{0}+c(Y-T)] \\[1.5em] S=Y-T-C_{0}-cY+cT \\[1.5em] S=\textcolor{#437C51}{ (1-c)Y-(1-c)T-C_{0} } \end{gather}$$ 代入原式， $$\begin{gather} \textcolor{#437C51}{ (1-c)Y-(1-c)T-C_{0} }+T=\textcolor{#B8621B}{ I }+G \\[1.5em] \textcolor{#437C51}{ (1-c)Y-(1-c)T-C_{0}}+T=\textcolor{#B8621B}{ (I_{0}-br+eY) }+G \\[1.5em] (1-c-e)Y=C_{0}+I_{0}-br+G+-cT \\[1.5em] \end{gather}$$ 最終均衡解： $$\textcolor{#d32f2f}{ Y^*=\frac{1}{1-c-e}\times (C_{0}+I_{0}-br+G-cT) }$$ 你會發現，推導結果跟使用[[IS 曲線推導（總合支出法）]] ($Y=C+I+G$) 算出來的結果完全相同。全新的乘數變成了 $\frac{1}{1-c-e}$，因為誘發性投資 ($e$) 的加入，讓乘數效應變得更強大了。 --- # 三、模型穩定條件與圖形解析 為了讓經濟體系是穩定的（當外力干擾讓所得偏離均衡時，市場能自動拉回平衡，而不無限發散），數學上乘數分母必須大於 0。(如果分母 $<0$，乘數變負，體系**不穩定**；所得一旦偏離均衡會越跑越遠，發散出去。) ## 1. 穩定條件推導 - 從上個段落最終均衡解的分母$1-c-e>0$ ，推導 I、S曲線的斜率大小。 $$\begin{gather} 1−c−e>0 \\[1.5em] \textcolor{#316A9E}{ 1−c }>\textcolor{#B8621B}{ e } \\[1.5em] \textcolor{#316A9E}{ 邊際儲蓄傾向 }>\textcolor{#B8621B}{ 邊際投資傾向 } \\[1.5em] \textcolor{#316A9E}{ 儲蓄曲線斜率 }>\textcolor{#B8621B}{ 投資曲線斜率 } \\[1.5em] \textcolor{#d32f2f}{ 儲蓄曲線較陡 } \end{gather}$$ - **經濟意義**：邊際儲蓄傾向 > 邊際投資傾向 - **幾何意義**：儲蓄曲線斜率 > 投資曲線斜率 (儲蓄曲線必須較陡) > [!question]+ 疑難解答 > > **Q：**「邊際儲蓄傾向 > 邊際投資傾向」可否理解為：$Y$多1元，增加的邊際儲蓄要大於邊際投資，才會使國民儲蓄隨著總產出$Y$增加而增加，進而讓整個經濟體系變穩定？ > &nbsp; > > **A：** 在總體經濟的資金循環流向中，所得 ($Y$) 創造出來後，會產生兩種衍生效果，這是決定體系穩定與否的關鍵力量： > &nbsp; > 1. 邊際儲蓄傾向 ($1−c$)：代表資金從實體消費循環中漏出 (Leakage) 的比例。 > 2. 邊際投資傾向 ($e$)：代表企業因為所得/景氣變好，而額外加碼注入 (Injection) 的資金比例。 > &nbsp; > 如果 $e>1−c$，代表「每多創造一塊錢的所得，企業加碼投資注入的資金，比民眾存起來不消費的資金還要多」。這會導致市場上的總需求爆發性增長，這股需求會進一步推升下一期的所得，引發無限放大的惡性循環（發散）。 &nbsp; 因此，要讓經濟系統在受衝擊後能穩定(收斂)下來，漏出率必須牽制住注入率，即 $1−c>e$。這是一個確保動態系統不崩潰的數學與邏輯要求，與儲蓄本身好壞無關。 > [!info|link]+ 相關連結 > > - 後續證明參照：[[商品市場(IS) 穩定條件與斜率證明]] --- # 四、動態模型：從S-I均衡模型推導IS 曲線 - **上圖 (S-I 均衡圖)**： - 橫軸：國民所得 ($Y$) - 縱軸：儲蓄 ($S$) 與 投資 ($I$) - 曲線：一條向右上傾斜的儲蓄線 $S(Y)$。 - **下圖 (IS 曲線)**： - 橫軸：國民所得 ($Y$) - 縱軸：利率 ($r$) <iframe src="https://obsidian-economics.pages.dev/02_Macroeconomics_總體經濟學/04_修正凱因斯模型_IS-LM/is_curve_si_Spontaneous investment.html" style="width:100%; height:800px; border:none;"></iframe> ## 1. 利率變動導致I曲線平移 (以降息為例) 在加入[[誘發性投資]]後，儲蓄線 $S(Y)$ 與投資線 $I(r,Y)$ 都是**正斜率**的線。將投資方程式展開： $$I = I_0 - br + eY$$ 這是一條直線方程式，斜率為 $e$（邊際投資傾向），截距為 $(I_0 - br)$。 ![[I曲線-20260825.jpeg]] ### 1. 當央行降息（$r$ 下降）時會發生什麼事？ #### (1) 數學層面（截距改變，斜率不變） - 因為 $r$ 變小，$-br$ 扣掉的數值變少，使得截距 $(I_0 - br)$ 的數值變大（起始高度增加），但斜率 $e$ 保持不變。 - 圖形上表現為：正斜率的投資線維持一模一樣的傾斜角度，**整條平行往上平移**。 ![[I 曲線-20260825.jpeg]] ##### (2) 經濟直覺層面（全面投資增加） - 資金借貸成本變便宜，無論現在國民所得是 100 億還是 200 億，企業都會覺得借錢更划算。 - 因此，在「任何一個所得水準下」，企業的投資金額都比降息前多出了一塊。 --- ### 2. 當央行升息（$r$ 上升）時會發生什麼事？ (反向推導，有時間再練習) --- ## 2. 均衡所得 Y 增加，推導出 IS 曲線 (以降息為例) ### 1. S、I 曲線 這時，「穩定條件（儲蓄線比較陡）」就發揮了關鍵作用。 在座標圖上，當平緩的投資線 I 往上抬，去追趕陡峭的儲蓄線 S 時，兩者新的交叉點必定會落在原本交點的**右上方**： * **向上**：均衡儲蓄與投資金額變大。 * **向右**：新的均衡國民所得 ($Y_2$) 變大。 ![[IS曲線-20260825-1.jpeg]] ### 2. 推導出 IS 曲線 將這個結果對應到下方的 IS 曲線圖（縱軸是利率 $r$，橫軸是所得 $Y$）： * 一開始：高利率 $r_1$，對應較小的所得 $Y_1$ $\rightarrow$ 點在左上方。 * 降息後：低利率 $r_2$，對應較大的所得 $Y_2$ $\rightarrow$ 點在右下方。 ![[IS曲線-20260825.jpeg]] 將這兩個點連起來，就推導出了**向右下方傾斜的 IS 曲線**。且因為加入了誘發性投資 ($e$)，乘數變大，會使得 IS 曲線變得比原本更加平坦，代表降息對經濟的刺激效果變得更強烈。 > [!tip|brain]+ 經濟直覺 > > 為什麼要學這個推導方法？ 在解釋「節儉的矛盾」時，S=I 模型異常強大。 > &nbsp; > > 若全國人民突然愛存錢（自發性儲蓄增加），正斜率的 S(Y) 曲線會整條往左上方移動。在同樣的投資線下，新交點必往左移導致 Y 下降。對應到下方圖形，直接證明了這會導致**整條 IS 曲線向左平移**，視覺連結完美無瑕！ > [!info|link]+ 相關連結 > > 關於此推導能順利成立的隱藏數學前提（S 必須較陡），以及動態收斂機制，請見：[[商品市場(IS) 穩定條件與斜率證明#三、關鍵盲點解析 (不穩定狀態的圖形矛盾)]]